Driehoek Vierkant

Driehoek Vierkant

Kun je een driehoek vierkant maken? Is het kunst? Is het wiskunde? Is het magie? Het is mathemagic! Deze challenge is als volgt: Wat is het minimum aantal stukjes waarin je een gelijkzijdige driehoek kunt snijden, zodat de stukjes in een vierkant kunnen worden herschikt?

Benodigdheden

Materialen:

  • papier
  • multiplex 3 of 4 mm
  • bouten en moeren 4m
  • Gereedschap:

    • schaar
  • lasercutter
  • Aan de slag

    Challenge: Wat is het minimum aantal stukjes waarin je een gelijkzijdige driehoek kunt snijden, zodat de stukjes in een vierkant kunnen worden herschikt?

    Kan je dit doen zodat alle stukken verbonden zijn tot een ketting via scharnierende punten en zodat de herschikking van de ene figuur naar de andere kan worden uitgevoerd door de ketting continu te laten scharnieren, zonder de verbindingen te verbreken?

    Dit probleem staat bekend als de Dudeney’s puzzle.

    Druk volgende gelijkzijdige driehoek af.

    snijden blad

    Knip langs de stippelijnen. Knip deze driehoek in stukken volgens rechte lijnen of lijnstukken, op zo een manier dat als je draait rond hoekpunten van de veelhoeken die ontstaan, je een vierkant bekomt! Met andere woorden: verdeel de driehoek in veelhoeken, zodat je die veelhoeken kunt herschikken in een vierkant.

    Oplossing

    Scroll naar beneden voor een oplossing voor deze challenge

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Oplossing

    Print volgend sjabloon af om met papier aan de slag te gaan. Knip langs de volle lijnen, vouw langs de stippelijnen

    snijden blad

    Hoe het scharnieren verloopt kan je in de illustratie hieronder bekijken

    snijden blad

    Lasercut oplossing

    Lasercut de volgende twee sjablonen om een luxe scharnierende versie van te maken. Download de file een lasercut in 3mm of 4mm multiplex

    • Deel 1:

      sjabloon onder

    • Deel 2:

      sjabloon boven

    Om te assembleren lijm de stukken onder/boven op elkaar en gebruik dan m4 korte bouten en moeren voor de scharnierende punten.

    snijden blad

    Tover je werkstuk tot een waanzinnig kunstwerk. Laat je inspireren door deze video.

    Een beetje geschiedenis

    Henry Ernest Dudeney (1857-1930) was een van de grootste negentiende-eeuwse puzzelaars en in 1902 stelde hij een probleem in zijn column in de krant The Weekly Dispatch. Het probleem was Begin met een gelijkzijdige driehoek, wat is het minimum aantal stukjes waarin je de driehoek kunt snijden, zodat de stukjes in een vierkant kunnen worden herschikt?

    Veel lezers schreven erin en gaven een oplossing die uit 5 stukken bestond. Één persoon, C. McElroy uit Manchester, stuurde echter een oplossing van slechts vier stukken. Interessant genoeg lijkt het erop dat er enige twijfel bestaat of Henry Dudeney daadwerkelijk op de hoogte was van de 4-delige oplossing op het moment dat hij zijn originele krantencolumn schreef!

    Vervolgens nam hij dit probleem op in een boek dat in 1907 werd gepubliceerd met de titel The Canterbury Puzzles, waar hij het Het Probleem van de Winkelier noemde. Het is echter meer algemeen bekend als Dudeney’s Dissection.

    Met dit type probleem duiken we in het thema van geometrische dissectie, dat is het in stukken snijden van een geometrische figuur die we kunnen herschikken om een andere figuur te vormen. Als visuele demonstraties van relaties, zoals de stelling van Pythagoras, hebben dissecties een verrassend rijke geschiedenis, die teruggaat tot Arabische wiskundigen een millennium geleden en Griekse wiskundigen meer dan twee millennia geleden.

    Als wiskundige puzzels genoten ze een eeuw geleden grote populariteit, in kranten- en tijdschriften columns geschreven door bv. de Amerikaan Sam Loyd, de Engelsman Henry Ernest Dudeney en in moderne tijden door bv. Martin Gardner, Ennio Peres.

    Deze puzzel kan worden beschouwd als een speciaal geval van een algemene stelling die de vraag beantwoordt wanneer een polygoon uit een andere kan worden gevormd door deze in een eindig aantal stukken te knippen en deze opnieuw samen te stellen door middel van translaties en rotaties.

    Stelling van Wallace-Bolyai-Gerwien

    Twee polygonen (veelhoeken) zijn congruent door dissectie als en slechts als ze dezelfde oppervlakte hebben. In het bijzonder is elke polygoon congruent door dissectie tot een vierkant met dezelfde oppervlakte.

    Laczkovich (1988) bewees ook dat een cirkel congruent is door dissectie tot een vierkant (bovendien kan de dissectie worden bereikt met alleen verschuivingen).

    Extra Literatuur:

    Voorbeelden

    driehoek vierkant aarde
    driehoek vierkant aarde